Tugas mata kuliah Matematika Ekonomi I

    DIFERENSIAL

2.1  Pengertian Diferensial

Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727). Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar

Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi kedua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)²)
5.  

Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = – sin x
3. d/dx ( tan x ) = sec² x
4. d/dx ( cot x ) = – csc² x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f^-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Contoh soal :

1. .Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x³ + 2x² + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah….

Penyelesaian :

              f(x) = 5x³ +2x² + 6x + 12

              f’(x) = 15x²+ 4x +6

              f’(3) = 15 . 3²  +4 . 3 + 6

                      = 135 + 12 + 6

                      =153

1.  Turunan pertama dari f(x) = sin³(3x² – 2) adalah f‘(x) = …

Penyelesaian:

               f(x) = sin³(3x² – 2)

              f’(x) = sin^(3-1)(3x² – 2).3.6x.cos (3x² – 2)

                        = 18x sin²(3x² – 2) cos (3x² – 2)

Penerapan Turunan

Di bawah ini, beberapa penerapan turunan (dalam melihat karakteristik fungsi) yang sering digunakan:

1. Kemonotonan,

Mengidentifikasi apakah fungsi (grafik fungsi) bergerak naik (ke atas) atau bergerak turun (ke bawah)

2. Titik Ekstrem (Maksimum/minimum)

Mengidentifikasi titik balik fungsi (jika ada)

3. Titik Belok

Mengidentifikasi kecekungan fungsi, apakah cekung ke atas atau ke bawah.

Sedangkan, penerapan diferensial (turunan) dalam ilmu bisnis & ekonomi (yang dipelajari) adalah sebagai berikut:

1.      Elastisitas

2.      Fungsi Marginal

3.      Analisis minimum (pada fungsi biaya)

4.      Analisis maksimal (pada fungsi laba dan pajak)

1. Kemonotonan

Suatu fungsi [misal f(x)] dikatakan mengalami :

> Kenaikan (naik) pada kurvanya disetiap titik x jika

 dan

> Penurunan (turun) pada kurvanya disetiap titik x jika  

2. Titik Ekstrem

Titik ekstrem atau titik balik menggambarkan kondisi dimana suatu fungsi berada pada titik baliknya, apakah itu titik balik maksimum (kondisi dari naik ke turun) ataupun titik balik minimum (kondisi dari turun ke naik). Kedua titik ini (maksimum atau minimum) tercapai pada saat yang sama, yaitu pada saat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol.

Fungsi f(x) mengalami titik balik (jika ada) pada saat: 

3. Titik Belok

Titik belok menggabarkan kondisi perubahan arah kecekungan fungsi suatu kurva. Apakah kurva fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah. Apabila kondisi kurva fungsi cekung ke atas, maka pada kondisi tersebut terjadi titik balik minimum. Sedangkan, apabila kondisi kurva fungsi cekung ke bawah, maka pada kondisi tersebut terjadi titik balik maksimum.

2.2  Diferensial dalam Ekonomi

1.      Elastisitas  =  . 

Ø  Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

a).        Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan barang, akibat adanya perubahan harga. 

Ø  Rumus elastisitas permintaan _d = . 

Elastis jika _d  > 0

Inelastis jika _d  < 0

Uniter jika _d  = 0

           

Ø  Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang  Q = 25 – 3 P ²

Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.

Ø  Jawab :       _d = .  = ( - 6 P )  = - 6 (5)  = 3

 _d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya  akan turun sebanyak 3 % .

b).  Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga. 

Ø  Rumus Elastisitas Penawaran  _s =  . 

Ø  Contoh : Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan Q = - 200 + 7 P²

Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10

Ø  Jawab : _s =  .  = ( 14 P ) 

Ø  Pada P = 10 _s = (14)(10) = 2,8 ( elastis )

Ø  _s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.

c).  Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input. 

Ø  Rumus Elastisitas Produksi  =  . 

Ø  Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkanP = 6 X ² – X³Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3

Ø  Jawab : _s = . = ( 12 X – 3 X ² ) 

Ø  Pada X = 3_s = ( 12 . 3 – 3 . 3 ² )= 1

Ø  _s = 1 (uniter) artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika inputditambah 1 %, maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %.

2.      Biaya Marjinal / Marginal Cost ( MC )

Ø  Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.

Ø  Rumus biaya marjinal  MC = TC ^I =   dan MC minimum jika MC ^I = 0

Ø  Contoh : Biaya total (TC) = f (Q) = Q ³ – 3 Q² + 4 Q + 4

Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q² – 6 Q + 4

Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ? Berapa besarnya baya marjinal minimum tersebut ?

Ø  Jawab = MC minimum  pad MC ‘ = 0

MC ‘ = 6 Q – 6 = 0  6 Q = 6  Q = 1 MC minimum

MC minimum = 3 Q ² – 6 Q + 4 = 3 ( 1 )² – 6 ( 1 ) + 4 = 6

Ø  Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.